Question

【题目】如图，在直角坐标 中，设椭圆 的左右两个焦点分别为 ，过右焦点 且与 轴垂直的直线 与椭圆 相交，其中一个交点为 .

（1）求椭圆 的方程；

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆定义可知
由题意 , .
又由Rt△ 可知 ， , ，
又 ，得
椭圆 的方程为
(2)已知 经过点 且斜率为 直线 与椭圆 有两个不同的 和 交点,请问是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
解：设直线 的方程为 ，
代入椭圆方程，得 ．
整理，得 ①
因为直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 等价于 ，
解得 ．
设 ,则 ＝ ,
由①得 ②
又 ③
因为 ， 所以 ．
所以 与 共线等价于 ．
将②③代入上式，解得 ．
因为
所以不存在常数 ，使得向量 与 共线
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a，由题意|MF2|=1，由Rr△MF1F2可知b的值，则椭圆C的方程可求;
（2）利用向量共线的条件建立等式，再根据韦达定理，由此能求出不存在这样的常数k满足条件.解题时要认真审题，注意向量共线的条件的合理运用.