Question

【题目】已知函数f（x）=log 的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+log （x+1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=log （x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函数f（x）的图象关于原点对称，

∴函数f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

即log =﹣log = log ，

解得：a=﹣1或a=1（舍）

（2）

解：f（x）+ log （x﹣1）= log + log （x﹣1）= log （1+x），

x＞1时，log （1+x）＜﹣1，

∵x∈（1，+∞）时，f（x）+ log （x﹣1）＜m恒成立，

∴m≥﹣1；

（3）

解：由（1）得：f（x）= log （x+k），

即log = log （x+k），

即 =x+k，即k= ﹣x+1在[2，3]上有解，

g（x）= ﹣x+1在[2，3]上递减，

g（x）的值域是[﹣1，1]，

∴k∈[﹣1，1]

【解析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+ log （x﹣1）= log （1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k= ﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）= ﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．