Question

已知函数f(x)=e^x-ex，
（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；
（Ⅱ）对于函数h(x)=x²与g(x)=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b在函数h(x)，g(x)各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为，
令得x=1，
当x＞1时，；
当x＜1时，，
所以，函数f(x)在上递减，在上递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(1)=0；
（Ⅱ）设，
则，
所以当时，；当时，，
因此当时，F（x）取得最小值0；
则h(x)与g(x)的图象在处有公共点，
设公切线方程为，得，
由在x∈R恒成立，
则在x∈R恒成立，
所以恒成立，因此。
下面证明成立，
设，
所以当时，；当时，；
因此时，G（x）取得最大值0，则成立，
所以，
故所求公共切线为。