Question

6．已知函数$f（x）=2sin（ωx+ϕ）+1，（ω＞0，|ϕ|≤\frac{π}{2}）$，其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对任意$x∈（-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}）$恒成立，则ϕ的取值范围是（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可得当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）时，sin（2x+ϕ）＞0，再利用正弦函数的图象和性质，求得ϕ的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=2sin（ωx+ϕ）+1，（ω＞0，|ϕ|≤\frac{π}{2}）$，令f（x）=-1，可得sin（ωx+ϕ）=-1，
由于f（x）的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+ϕ）+1．
若f（x）＞1对任意$x∈（-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}）$恒成立，则当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）时，sin（2x+ϕ）＞0，
∴2•（-$\frac{π}{12}$）+ϕ＞2kπ，且2•$\frac{π}{3}$+ϕ＜2kπ+π，k∈Z，即2kπ+$\frac{π}{3}$＞ϕ＞2kπ+$\frac{π}{6}$，∴ϕ∈（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．
故答案为：（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．