Question

（本小题满分14分）在棱长为2的正方体中，设是棱的中点。

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）（2）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等；要证线线垂直，可通过征到线面垂直得到.（3）等体积法

试题解析：（1）连接BD，AE． 因四边形ABCD为正方形，故，

因底面ABCD，面ABCD，故，又，

故平面，平面，故．

（2）连接，设，连接，

则为中点，而为的中点，故为三角形的中位线，

，平面，平面，故平面.

（3）由（2）知，点A到平面的距离等于C到平面的距离，

故三棱锥的体积，

而，

三棱锥的体积为.

考点：线面、线线位置关系及几何体体积