Question

若点（x，y）在椭圆4x²+y²=4上，则

y-1

x-2

的最大值为

 

，最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把

y-1

x-2

的最值转化为求过点（2，1）的直线与椭圆4x²+y²=4的切线问题，设出过点（2，1）的直线方程，和椭圆方程联立，利用判别式等于0得答案．

解答： 解：椭圆4x²+y²=4的图象如图，

设过P（2，1）的直线方程为y-1=k（x-2），
联立

y-1=k(x-2) 4x2+y2=4

，得（4+k²）x²-（4k²-2k）x+4k²-4k-3=0．
由△=（4k²-2k）²-4（4+k²）（4k²-4k-3）=0，
解得：k1=

2- 13

3

，k2=

2+ 13

3

．
∴

y-1

x-2

的最大值为

2+ 13

3

，最小值为

2- 13

3

．
故答案为：

2+ 13

3

；

2- 13

3

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．