Question

设椭圆x²+3y²=3与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,分类讨论,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线y=kx+m与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相交可得m²＜3k²+1，及点P的坐标，从而可得AP的斜率，再分类讨论，利用|AM|=|AN|，即可求得m的取值范围．

解答： 解：设P（x_P，y_P）、M（x_M，y_N）、N（x_N，y_N），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y，可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①，
∴x_P=-

3mk

1+3k2

，从而y_P=kx_P+m=

m

1+3k2

，
（1）当k≠0时，k_AP=

yP+1

xP

=-

m+1+3k2

3mk

（m=0不满足题目条件）
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则-

m+1+3k2

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1，②
把②代入①得m²＜2m，解得0＜m＜2，由②得k²=

2m-1

3

，解得m＞

1

2

．
故

1

2

＜m＜2．
（2）当k=0时，∵直线y=m是平行于x轴的一条直线，∴-1＜m＜1，
综上，求得m的取值范围是-1＜m＜2．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，联立方程是关键．