Question

已知过点A（-2，-4）且斜率为1的直线l交抛物线y²=2px（p＞0）于B，C两点，若AB、BC、CA的绝对值成等比数列，求抛物线方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：题意，直线l的标准参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数）．代入抛物线方程y²=2px（p＞0）可得t²-（2

2

p+8

2

）t+32+8p=0，设A，B的参数分别为t₁，t₂．可得根与系数，由于|AB|=t₁，|AC|=t₂，|BC|=|t₁-t₂|=2

2p2+8p

及AB、BC、CA的绝对值成等比数列，即可得出．

解答： 解：由题意，直线l的标准参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数）．
代入抛物线方程y²=2px（p＞0）可得：t²-（2

2

p+8

2

）t+32+8p=0，
设B，C的参数分别为t₁，t₂．
则t₁+t₂=2

2

p+8

2

，t₁t₂=32+8p．
∴|AB|=t₁，|AC|=t₂．
|BC|=|t₁-t₂|=2

2p2+8p

．
∵|AB|，|BC|，|CA|成等比数列，
∴4（2p²+8p）=t₁t₂=32+8p，
化为p²+3p-4=0，p＞0．
解得p=1．
∴抛物线的方程为：y²=2x．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线的参数方程、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．