Question

【题目】如图，在四面体中， 平面， ， ，

为的中点.

（Ⅰ）求证: ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.

（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）易证平面，进而得；

（Ⅱ）以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，利用法向量求二面角即可；

（Ⅲ）取的中点为，由线段长相等即可证得为四面体的外接球的球心，进而可求球的表面积.

试题解析：

（Ⅰ）因为平面， 平面，

所以.

又因为， ，

所以平面.

又因为平面，

所以.

（Ⅱ）如图，设的中点为， 的中点为，连接， ，

因为平面，

所以平面，由，且，可得， ， 两两垂直，所以分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，/p>

则， ， ， ， .

所以， ， .

设平面的一个法向量为，

由， ，得

令，得.

设平面的一个法向量为，

由， ，得

令，得.

所以.

由图可知，二面角的余弦值为.

（Ⅲ）根据（Ⅱ），记的中点为，

由题意， 为直角三角形，斜边，

所以.

由（Ⅰ），得平面，

所以.

在直角中， 为斜边的中点，

所以.

所以为四面体的外接球的球心，

故四面体的外接球的表面积. .