Question

11．已知向量$\overrightarrow{OP}=（2，1）$，$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}=（5，1）$，设M是直线OP上任意一点（为坐标原点），则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最小值为-8．

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OP}$，则$\overrightarrow{OM}=（2λ，λ）$，λ∈R，利用向量三角形减法法则求得$\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$的坐标，得到关于λ的二次函数求最值．

解答 解：由题意设$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OP}$，则$\overrightarrow{OM}=（2λ，λ）$，λ∈R，
又$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}=（5，1）$，
∴$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}=（1-2λ，7-λ）$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=（5-2λ，1-λ）$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-2λ，7-λ）•（5-2λ，1-λ）=（1-2λ）（5-2λ）+（7-λ）（1-λ）
=5λ²-20λ+12．
对称轴方程为λ=2，
∴当λ=2时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的最小值为5×2²-20×2+12=-8．
故答案为：-8．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积的坐标运算及二次函数求最值，是中档题．