Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PC，若M，N分别为PB，AD的中点．求证：
（Ⅰ）MN∥平面PDC；
（Ⅱ）PD⊥AC．

Answer 1

分析 （I）取PC的中点Q，连MQ，DQ，通过证明四边形MNDQ是平行四边形得出MN∥DQ，故MN∥平面PCD；
（II）连结AC，根据AC⊥BD，AC⊥OP得出AC⊥平面PBD，故而AC⊥PD．

解答 证明：（Ⅰ）取PC的中点Q，连MQ，DQ，
则MQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，又ND$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴MQ$\stackrel{∥}{=}$ND，
∴四边形MNDQ为平行四边形，
从而MN∥DQ，
又∵DQ?面PCD，MN?平面PCD，
∴MN∥面PCD．
（Ⅱ）连结AC交BD于O，则O是AC的中点，
∵PA=PC，
∴PO⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又BD∩OP=O，
∴AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，
∴AC⊥PD．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，属于基础题．