Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
(Ⅰ)设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式。

Answer 1

(Ⅰ)证明：由已知有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=5，
故b₁=a₂-2a₁=3，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-(4a_n+2)=4a_n+1-4a_n， 
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即b_n+1=2b_n，
因此数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知等比数列{b_n}中b₁=3，公比q=2，
所以a_n+1-2a_n=3×2^n-1，于是，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，
，
所以。