Question

【题目】如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，.且与均为正三角形，为的中点，为重心.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）方法一：连接并延长与交于，连接，推导出，从而，由为重心，得，进而，由此能证明平面．

方法二：过作交于，过作交于，连接，易知，又为的重心， 根据比例关系可得 ，

又为梯形， ，由比例关系可得，又， 得， 为平行四边形，可得，根据线面平行判定定理即可证明结果；

方法三：过作交于，连接，由为正三角形，为的中点，且， 为的重心，

又由梯形，可得，可证 ，可得平面平面

根据面面平行的性质即可证明结果.

（2）方法一:由平面平面，与均为正三角形，为的中点，可得平面，且，由（1）知平面，可得 ，再根据题意解出，即可求出结果.

方法二:三棱锥的体积 ．由此能求出结果．

（1）方法一：连交于，连接.

由梯形， 且，知

又为的中点，且，为的重心，∴

在中，，故.

又平面，平面，∴平面

方法二：过作交于，过作交于，连接，

为的中点，且，

为的重心， ， ，

又为梯形， ，，

， ，

又由所作， 得， 为平行四边形.

，面，面，面

方法三：过作交于，连接，

由为正三角形，为的中点，且， 为的重心，

得，

又由梯形，，且，

知，即

∴在中， ，所以平面平面

又平面，∴面

（2）方法一:由平面平面，与均为正三角形，为的中点

∴，，得平面，且

由（1）知平面，∴

又由梯形， ，且，知

又为正三角形，得，

∴

得

∴三棱锥的体积为.

方法二:由平面平面，与均为正三角形，为的中点

∴，，得平面，且

由，∴

而又为正三角形，得，得.

∴，∴三棱锥的体积为.