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某大学对参加了该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，决定考核有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ ，他们考核所得的等次相互独立．
（I）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（II）求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率．

解：（I）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，
“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
则事件A，B，C相互独立， $\text{[math]}$ 与事件E是对立事件
则P（E）=1-P（ $\text{[math]}$ ）=1-P（ $\text{[math]}$ ）•P（ $\text{[math]}$ ）•P（ $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（Ⅱ）记“次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数”为事件F，即三名志愿者的优秀人数为1或3个；
P（F）=P（A• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ •B• $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •C）+P（A•B•C）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据题意，分别记“甲考核为优秀”，“乙考核为优秀”，“丙考核为优秀”，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为A，B，C，E，根据相互独立事件与对立事件的定义，可得事件A，B，C相互独立， $\text{[math]}$ 与事件E是对立事件，根据相互独立事件乘法公式及对立事件概率减法公式，可得在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记“次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数”为事件F，分析可得F等价于三名志愿者的优秀人数为1或3个；即P（F）=P（A• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ •B• $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •C）+P（A•B•C），代入数据计算可得答案．
点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式，关键在于分析事件之间的相互关系．

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、

，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

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某大学对参加了该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，决定考核有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

、

，他们考核所得的等次相互独立．
（I）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（II）求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率．

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某大学对参加了该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，决定考核有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分。假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

、

，他们考核所得的等次相互独立。
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率。

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