Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；

（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；

（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时， ，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.

试题解析：

（1）由题意得.

当，即时，，在内单调递增，没有极值.

当，即，

令，得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

故当时，取得最小值，无极大值.

综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；

当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.

（2）由（1），知当时，在内单调递增，

当时，成立.

当时，令为和中较小的数，

所以，且.

则，.

所以，

与恒成立矛盾，应舍去.

当时， ，

即，

所以.

令，

则.

令，得，

令，得，

故在区间内单调递增，

在区间内单调递减.

故，

即当时，.

所以.

所以.

而，

所以.