【题目】已知函数(
).
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若不等式对任意
恒成立.(i)求实数
的取值范围;(ii)试比较
与
的大小,并给出证明(
为自然对数的底数,
).
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)一求切点,二求切点处的导数,即切线的斜率;(2)只需求出函数在区间
上的最大值即可,利用导数研究单调性,进一步求其最值构造不等式求解;比较大小可将两个值看成函数值,然后利用函数的性质求解.
试题解析:(1)因为时,
,
,所以切点为
,
,所以
时,曲线
在点
处的切线方程为
.
(2)()由
,所以
,①当
时,
,
,∴
在
上单调递增,
,∴
不合题意;②当
即
时,
在
上恒成立,∴
在
上单调递减,有
,∴
满足题意;③若
即
时,由
,可得
,由
,可得
,∴
在
上单调递增,在
上单调递减,∴
,∴
不合题意,综上所述,实数
的取值范围是
.
()
时,“比较
与
的大小”等价于“比较
与
的大小”,设
,(
),则
,∴
在
上单调递增,因为
,当
时,
,即
,所以
,当
时,
,即
,∴
,综上所述,当
时,
;当
时,
;当
时,
.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=PC=5,PB=4,AB=BC=2 ,∠ACB=30°,PA=PC=5,PB=4,AB=BC=2
,∠ACB=30°.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)求三棱锥P﹣ABC的体积.
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【题目】函数的定义域为
(
).
(1)当时,求函数
的值域;
(2)若函数在定义域上是减函数,求
的取值范围;
(3)求函数在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时
的值.
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【题目】设函数f(x)=ln(1+|x|)﹣ ,则使得f(x)>f(2x﹣1)成立的取值范围是( )
A.(﹣∞, )∪(1,+∞)?
B.( ,1)
C.(- ,
)?
D.(﹣∞,﹣ ,)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与
轴的正半轴重合,且长度单位相同;曲线
的方程是
,直线
的参数方程为
(
为参数,
),设
, 直线
与曲线
交于
两点.
(1)当时,求
的长度;
(2)求的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线
(
为参数),在以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立的机坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)过点且与直线
平行的直线
交
于
两点,求点
到
两点的距离之积.
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