Question

10．下列几个命题
①方程ax²+x+1=0有且只有一个实根的充要条件是a=$\frac{1}{4}$；
②函数y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x）=（2x-3）²+1的图象是由函数y=（2x-5）²+1的图象向左平移1个单位得到的；
④命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆命题为真命题；
⑤已知p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题；
⑥若函数f（x）=|a^x-1|-log₂（x+2），（a＞1）有两个零点x₁，x₂，则（x₁+2）（x₂+2）＞1．
其中正确的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据充要条件的定义，可判断①；根据函数奇偶性的定义，可判断②；根据函数图象的平移变换法则，可判断③；写出原命题的逆命题，可判断④；根据复合命题真假判断的真值表，可判断⑤；分析函数零点的位置，可判断⑥．

解答 解：①方程ax²+x+1=0有且只有一个实根的充要条件是a=$\frac{1}{4}$，或a=0，故错误；
②函数y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$=0，（x=±1）即是偶函数，也是奇函数，故错误；
③函数f（x）=（2x-3）²+1=[2（x+1）-5]²+1的图象是由函数y=（2x-5）²+1的图象向左平移1个单位得到的，故正确；
④命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆命题为命题“若x+y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，故错误；
⑤已知p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p，q可能一真一假，此时p∧q是假命题，故错误；
⑥若函数f（x）=|a^x-1|-log₂（x+2），（a＞1）有两个零点x₁，x₂，
则-1＜x₁＜0，x₁+2＞1，
x₂＞0，x₂+2＞2
则（x₁+2）（x₂+2）＞2＞1，故正确；
故选：A

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的奇偶性，充要条件，函数的零点，四种命题的否定等知识点，难度中档．