Question

20．已知三个共面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成角相等，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=（　　）

• A． 5
• B． $\sqrt{3}$
• C． 5或6
• D． 6或$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$两两所成角相等，
∴两两所成角为0°或120°．
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，
当所成角为120°时，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=-3，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+2（-1-\frac{3}{2}-3）}$=$\sqrt{3}$．
当所成角为0°时，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{c}$|=1+2+3=6．
故选：D．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．