Question

5．己知PE、PF是⊙O的切线，A、B是一组对径点，PB交⊙O于另一点C，直线AF、BE交于D点．求证：∠PCD=∠PCE．

Answer 1

分析 连接AE，OE，OF，PD．可得∠AEB=∠OEP=∠OFP=90°，OE=OB=OA=OF，∠OEF=∠OFE=$\frac{1}{2}$∠EPF，∠PEB=∠PCE，∠OEB=∠OBE．可得：点D在以P为圆心，PE的长为半径的圆上．进而证明E，C，D，P四点共圆，即可得出结论．

解答 证明：连接AE，OE，OF，PD．可得∠AEB=∠OEP=∠OFP=90°，OE=OB=OA=OF，
∠OEF=∠OFE=$\frac{1}{2}$∠EPF，∠PEB=∠PCE，
∠OEB=∠OBE．
∵∠EDA=∠EBA-∠BAD=∠BEO-∠BEF=∠OEF=$\frac{1}{2}∠EPF$，PE=PF．
∴点D在以P为圆心，PE的长为半径的圆上．
∴PE=PD，∴∠PED=∠PDE，∠ECP=∠PDE，
∴E，C，D，P四点共圆，
∴∠PED=∠PCD．
∴∠PCD=∠PCE．

点评 本题考查了圆的性质、圆的切线的性质、四点共圆，本题条件比较多，考查了较强的推理能力与计算能力，属于难题．