Question

15．设数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$，数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{{log}_3}{a_n}}}$，数列{c_n}满足c_n=（2n+1）a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和B_n；
（3）求数列{c_n}的前n项和C_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{{log}_3}{a_n}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．
（3）c_n=（2n+1）a_n，${c_n}=（2n+1）{3^n}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）①当n≥2时，${S_n}=\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$，${S_{n-1}}=\frac{{{3^n}-3}}{2}$，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={3^n}$．
②当n=1时，a₁=S₁=3，它满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为：${a_n}={3^n}$．
（2）${b_n}=\frac{1}{{（n+1）{{log}_3}{a_n}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
${B_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
（3）∵c_n=（2n+1）a_n，∴${c_n}=（2n+1）{3^n}$，
∴${C_n}=3×{3^1}+5×{3^2}+7×{3^3}+…+（2n+1）{3^n}$，①
$3{C_n}=3×{3^2}+5×{3^3}+…+（2n-1）{3^n}+（2n+1）{3^{n+1}}$②，
则①-②得：$-2{C_n}=3×3+2×{3^2}+2×{3^3}+…+2×{3^n}-（2n+1）{3^{n+1}}$=$3+\frac{{6（1-{3^n}）}}{1-3}-（2n+1）{3^{n+1}}=-2n•{3^{n+1}}$，
∴${C_n}=n•{3^{n+1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、“裂项求和”方法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．