Question

7．函数$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}，x∈R$，当$0≤θ≤\frac{π}{2}$时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}，x∈R$，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}$=-$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=-f（x），
则函数f（x）为奇函数，
且函数f（x）在（-∞，+∞）是为增函数，
由f（msinθ）+f（1-m）＞0，
得f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），
则msinθ＞m-1，
即（1-sinθ）m＜1，
当θ=$\frac{π}{2}$时，sinθ=1，此时不等式等价为0＜1成立，
当θ∈（0，$\frac{π}{2}$），0＜sinθ＜1，
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$，
∵0＜sinθ＜1，∴-1＜-sinθ＜0，
0＜1-sinθ＜1，则$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，
则m≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是中档题．