Question

19．已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由a_n=2n-1．可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．