Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知acosB+bcosA=2cosC．
（1）求角C的值；
（2）若a+b=4，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）求出sin（A+B）=2sinCcosC，得到sin（A+B）=sinC，求出C的值即可；（2）根据余弦定理求出ab的值，从而求出三角形的面积即可．

解答 解：（1）由正弦定理及acosB+bcosA=2ccosC，
得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC．…（2分）
∴sin（A+B）=2sinCcosC．…（3分）
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC，
∴sinC=2sinCcosC．…（4分）
又∵C∈（0，π），∴sinC＞0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$．…（5分）
∴$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab．…（8分）
∴ab=4…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查了正弦定理有界余弦定理的应用，考查三角恒等变换问题，是一道中档题．