Question

17．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）证明：{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n=$\frac{3}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{3^2}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{3^n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．
（Ⅱ）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由a_n+1=3a_n+2⇒a_n+1+1=3（a_n+1）．…（1分）
∵a₁=2，∴a₁+1=3≠0且a_n+1≠0．…（2分）
∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=3$．…（3分）
所以{a_n+1}是首项为3公比为3的等比数列．…（4分）${a_n}+1=3•{3^{n-1}}={3^n}$，得${a_n}={3^n}-1$．
即{a_n}的通项公式是${a_n}={3^n}-1$．…（6分）
（Ⅱ）解：$\frac{3}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{3^2}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{3^n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{3}{{（3-1）（{3^2}-1）}}+\frac{3^2}{{（{3^2}-1）（{3^3}-1）}}+…+\frac{3^n}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}$
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{{3^2}-1}}）+（\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}）+…+（\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）]$…（9分）
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{{2（{3^{n+1}}-1）}}$．…（11分）
∴${S_n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{{2（{3^{n+1}}-1）}}$．…（12分）

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等比数列的通项公式的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．