Question

9．如图，四边形ABCD是矩形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且AD=2，NB=1，CD=MD=3．
（1）过B作平面BFG∥平面MNC，平面BFG与CD、DM分别交于F、G，求AF与平面MNC所成角的正弦值；
（2）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求$\frac{ME}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）作出图形，以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面MNC的一个法向量，即可求AF与平面MNC所成角的正弦值；
（2）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，即可求$\frac{ME}{MN}$的值．

解答 解：（1）当CF=MG=1时，平面BFG∥平面MNC．
证明：连接BF，FG，GB，∵BN=GM=1，BN∥GM，∴四边形BNMG是平行四边形，∴BG∥NM，∵CD=MD，CF=MG，∴FG∥CM，∵BG∩FG=G，∴平面BFG∥平面MNC，
以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图），则A（2，0，0），C（0，3，0），F（0，2，0），M（0，0，3），N（2，3，1），∴$\overrightarrow{AF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{MN}$=（2，3，-2），$\overrightarrow{MC}$=（0，3，-3），
设平面MNC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-2z=0\\ 3y-3z=0\end{array}\right.$令y=2，则z=2，x=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（-1，2，2），
设AF与平面MNC所成角为θ，则$sinθ=cos\left?{AF，n}\right＞=\frac{2+4}{{2\sqrt{2}×3}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）设E（a，b，c），$\frac{ME}{MN}=λ$，则$\overrightarrow{ME}$=λ$\overrightarrow{MN}$，
∵$\overrightarrow{ME}$=（a，b，c-3），$\overrightarrow{MN}$=（2，3，-2），∴点E的坐标为（2λ，3λ，3-2λ），
∵AD⊥平面MDC，∴AD⊥MC，
欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，
∵$\overrightarrow{AE}$=（2λ-2，3λ，3-2λ），$\overrightarrow{MC}$=（0，3，-3），∴9λ-3（3-2λ）=0，得$λ=\frac{3}{5}$，∴$\frac{ME}{MN}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查空间线面角、线面位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．