Question

5．对于数列{a_n}，定义H_n=$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}$为{a_n}的“优值”，现在已知某数列{a_n}的“优值”H_n=2ⁿ⁺¹，记数列{a_n-kn}的前n项和为S_n，若S_n≤S₆对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是$[\frac{16}{7}，\frac{7}{3}]$．

Answer 1

分析 由题意，H_n=$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，则a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n•2ⁿ⁺¹，n≥2时，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，相减可得a_n=2（n+1），对a₁也成立，可得a_n-kn=（2-k）n+2．由于数列{a_n-kn}为等差数列，S_n≤S₆对任意的n（n∈N^*）恒成立可化为a₆-6k≥0，a₇-7k≤0，即可得出．

解答 解：由题意，H_n=$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
则a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n•2ⁿ⁺¹，
n≥2时，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，
则2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹-（n-1）2ⁿ=（n+1）2ⁿ，
则a_n=2（n+1），对a₁也成立，
故a_n=2（n+1），
则a_n-kn=（2-k）n+2，
则数列{a_n-kn}为等差数列，
故S_n≤S₆对任意的n（n∈N^*）恒成立可化为
a₆-6k≥0，a₇-7k≤0；
即$\left\{\begin{array}{l}{6（2-k）+2≥0}\\{7（2-k）+2≤0}\end{array}\right.$
解得，$\frac{16}{7}≤k≤\frac{7}{3}$，
故答案为：$[\frac{16}{7}，\frac{7}{3}]$．

点评 本题考查了新定义、等差数列的通项公式与单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．