Question

3．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）求证：A₁C⊥平面BED；
（2）求三棱锥A₁-BED的体积．

Answer 1

分析 （1）法一（几何法）：连结AC交BD于点F，则BD⊥AC，BD⊥A₁C．在平面A₁CA内，连结EF交A₁C于点G，推导出A₁C⊥EF．由此能证明A₁C⊥平面BED．
法二（向量法）：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁C⊥平面BED．
（2）求出cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}$＞，从而得到sin＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DB}$＞，进而求出S_△DBE，再由A₁C⊥平面BED，能求出三棱锥A₁-BED的体积．

解答 证明：（1）证法一（几何法）：
依题设知AB=2，CE=1．
连结AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A₁C．在平面A₁CA内，连结EF交A₁C于点G，
由于$\frac{{A}_{1}A}{FC}$=$\frac{AC}{CE}$=2$\sqrt{2}$，
故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，
∠CFE与∠FCA₁互余．于是A₁C⊥EF．
A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
∴A₁C⊥平面BED．
证法二（向量法）：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，4），C（0，2，0），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DE}$=0+4-4=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{DB}$=-4+4+0=0，
∴A₁C⊥DE，A₁C⊥DB，
又DE∩DB=D，∴A₁C⊥平面BED．
解：（2）cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{|\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴sin＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\sqrt{1-\frac{10}{25}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{DB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|=$\sqrt{4+4+16}$=2$\sqrt{6}$，
∴${S}_{△DBE}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{15}}{5}$=3$\sqrt{2}$，
∵A₁C⊥平面BED，
∴三棱锥A₁-BED的体积V=$\frac{1}{3}×|{A}_{1}C|×{S}_{△DBE}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{6}×3\sqrt{2}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．