Question

11．如图所示，已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=1，BC=3，CD=4，DA=2，则平面四边形ABCD面积的最大值为$2\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设AC=x，在△ABC和△ACD中，分别由余弦定理可得8cosD-3cosB=5，①，由面积可得3sinB+8sinD=2S，②①²+②²解三角函数的值域可得S的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：设AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得x²=1²+3²-2×1×3cosB=10-6cosB，
在△ACD中，由余弦定理可得x²=20-16cosD，
联立可得8cosD-3cosB=5，①
又四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$×1×3sinB+$\frac{1}{2}$×2×4sinD
即3sinB+8sinD=2S，②
①²+②²可得9+64+48（sinBsinD-cosBcosD）=25+4S²，
化简可得48cos（B+D）=4S²-48，
由于-1≤cos（B+D）≤1，∴-48≤4S²-48≤48，
∴0≤4S²≤96，解得S≤$2\sqrt{6}$，
当cos（B+D）=-1即B+D=π时取等号，
∴S的最大值为$2\sqrt{6}$，
故答案为：$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式以及不等式的性质，属中档题．