Question

已知抛物线C：x²=y，过M（0，1）作一条直线l与抛物线交于A、B两点，O为原点，若△OAB为等腰三角形，这样的直线l有几条（　　）

• A、0
• B、1
• C、3
• D、5

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设直线l的方程为：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．与抛物线的方程联立可得x²-kx-1=0．
x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．计算

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，即可判断出答案．

解答： 解：设直线l的方程为：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．
联立

y=kx+1 y=x2

，化为x²-kx-1=0．
△＞0．
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(x1x2)2+x1x2=1-1=0，
∴

OA

⊥

OB

．
∴|OA|≠|AB|，|OB|≠|AB|．
当|OA|=|OB|时，x₁+x₂=k=0，此时只有一条直线l：y=1．
综上可得：满足△OAB为等腰三角形，这样的直线l有且仅有1条．
故选：B．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、等腰三角形的判定、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．