Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f(

α

2

)=

3

5

，α∈(0，π)，试求f(α+

5π

8

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据x=

π

8

是函数y=f（x）的图象的对称轴，求得sin(2×

π

8

+?)=±1，再根据?的范围求出?的值，即可求得函数的解析式．
（2）由f(

α

2

)=

3

5

，α∈(0，π)，求得sin（α-

3π

4

） 和cos（α-

3π

4

）的值，利用两角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得f(α+

5π

8

)=sin[2(α+

5π

8

)-

3π

4

]=cos2α 的值．

解答：解：（1）∵x=

π

8

是函数y=f（x）的图象的对称轴，
∴sin(2×

π

8

+?)=±1，∴

π

4

+?=kπ+

π

2

，k∈Z，…（2分）
∵-π＜?＜0，∴?=-

3π

4

，…（4分）
故f(x)=sin(2x-

3π

4

)…（6分）
（2）因为f(

α

2

)=

3

5

，α∈(0，π)，
所以sin(α-

3π

4

)=

3

5

，cos(α-

3π

4

)=

4

5

．…（8分）
故sinα=sin[(α-

3π

4

)+

3π

4

]=sin(α-

3π

4

)•cos

3π

4

+cos(α-

3π

4

)•sin

3π

4

=

2

2

(

4

5

-

3

5

)=

2

10

．…（11分）
故有 f(α+

5π

8

)=sin[2(α+

5π

8

)-

3π

4

]=sin(2α+

π

2

)=cos2α
=1-2sin2α=1-2(

2

10

)2=

24

25

．…（14分）

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．