Question

【题目】已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x． 给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
正确的有（ ）
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①f（2m）=f（22m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，正确； ②取x∈（2m ， 2m+1），
则 ∈（1，2]；f（ ）=2﹣ ，
f（ ）=…=2mf（ ）=2m+1﹣x
从而f（x）∈[0，+∞），正确
③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即存在x1 ， x2 ， 2x1﹣2x2=10，
又∵2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在满足条件的x1 ， x2 ， 所以该命题错误；
综合有正确的序号是①②．
故选：B．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．