Question

函数f（x）满足：①定义域是（0，+∞） ②当x＞1时，f（x）＜2；③对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2
（1）求出f（1）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）写出一个满足上述条件的具体函数．

Answer 1

分析：（1）要求f（1），结合已知由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2可考虑赋值，令x=y=1，可求f（1）．
（2）要证函数的单调性，需设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f（

x2

x1

）＜2，故构造 f（x₂）=f（

x2

x1

×x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜2+f（x₁）-2=f（x₁），从而可证．
（3）由任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2，类似对数的运算性质，联想对数函数．

解答：解：（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2  …（4分）
（2）f（x）在（0，+∞）单调递减
事实上，设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵x＞1时，f（x）＜2可得，f（

x2

x1

）＜2，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

×x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜2+f（x₁）-2=f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞上单调递减                              …（10分）
（3）f（x）=2+log_ax，其中a可以取（0，1）内的任意一个实数；     …（12分）

点评：本题以抽象函数为载体，考查利用赋值求解函数值的问题，而函数的单调性的证明的最基本的方法是利用函数单调性的定义，解决此问题的关键是要根据题目中的条件进行合理的构造，以达到比较f（x₁），f（x₂）的大小的目的．