Question

11．函数y=$\frac{{x}^{2}-3x+4}{{x}^{2}+2x+3}$的取值范围是[$\frac{10-\sqrt{110}}{4}$，$\frac{10+\sqrt{110}}{4}$]．

Answer 1

分析 可将原函数变成：（y-1）x²+（2y+3）x+3y-4=0，可将该式看成关于x的方程，方程有解，能够看出需讨论y=1和y≠1：y=1时，容易得出满足方程有解，而y≠1时，从而有△≥0，这样解该不等式即可得出原函数的值域．

解答 解：由原函数得，yx²+2yx+3y=x²-3x+4；
整理成关于x的方程：（y-1）x²+（2y+3）x+3y-4=0，方程有解；
①若y=1，则5x-1=0，满足方程有解；
②若y≠1，则要使方程有解，则：
△=（2y+3）²-4（y-1）（3y-4）≥0；
解得，$\frac{10-\sqrt{110}}{4}≤y≤\frac{10+\sqrt{110}}{4}$，且y≠1；
∴原函数的值域为[$\frac{10-\sqrt{110}}{4}$，$\frac{10+\sqrt{110}}{4}$]．
故答案为：[$\frac{10-\sqrt{110}}{4}$，$\frac{10+\sqrt{110}}{4}$]．

点评 考查函数值域的概念及求法，掌握本题将原函数整理成关于x的方程，根据方程有解求函数值域的方法，一元二次方程有解时判别式△的取值情况．