Question

（2004•虹口区一模）二次函数y=f（x）图象交y轴于点（0，-6），图象顶点坐标为(-

1

2

，-

25

4

)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）记F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

，求F（x）的解析式；
（3）如直线y=2x+t与曲线y=F（x）交于三个不同的点，试确定实数t的范围．

Answer 1

分析：（1）可设f(x)=a(x+

1

2

)2-

25

4

，其图象交y轴于点（0，-6），从而可求a，解析式可求．
（2）由f（x）=x²+x-6=

0 (x≤-3或x≥2) -x2-x+6 (-3＜x＜2)

可求F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

的解析式．
（3）解法1：构造函数φ（x）=x²+3x+（t-6），根据题意由混合组

△=9-4(t-6)＞0 -3＜x0=- 3 2 ＜2 φ(2)=t+4＞0 φ(-3)=t-6＞0

可求得t的取值范围；
解法2：可采用数形结合，y=2x+t与y=-x²-x+6（-3＜x＜2）相切与y=2x+t过（-3，0），可求得t的取值范围．

解答：解：（1）设f(x)=a(x+

1

2

)2-

25

4

，
∵其图象交y轴于点（0，-6），∴a=1，
∴y=x²+x-6 （4分）
（2∵y=x2+x-6= 

x2+x-6(x≤-3或x≥2) -x2-x+6(-3＜x＜2)

，
∴F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

=

0 (x≤-3或x≥2) -x2-x+6 (-3＜x＜2)

（8分）
（3）仅需y=2x+t与y=-x²-x+6在-3＜x＜2上有两个交点．
y=2x+t代入y=-x²-x+6，得x²+3x+（t-6）=0
设φ（x）=x²+3x+（t-6），满足上述要求，则

△=9-4(t-6)＞0 -3＜x0=- 3 2 ＜2 φ(2)=t+4＞0 φ(-3)=t-6＞0

∴6＜t＜

33

4

． （16分）
另解：数形结合，y=2x+t与y=-x²-x+6（-3＜x＜2）相切得y=

33

4

（12分）
y=2x+t过（-3，0），得t=6 （14分）
∴当6＜t＜

33

4

时，有三个交点． （16分）

点评：本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的解析式，考查学生的分析与转化能力，数形结合的思想，属于难题．