Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x（2-x）．
（1）画出偶函数f（x）的图象；
（2）根据图象，写出f（x）的单调递减区间和单调递增区间；同时写出函数的值域；
（3）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的对称性即可画出偶函数f（x）的图象；
（2）根据图象，即可得到f（x）的单调递减区间和单调递增区间；同时写出函数的值域；
（3）根据函数的奇偶性的性质求函数f（x）的解析式．

解答：解：（1）偶函数f（x）的图象如右图所示：
    
（2）由图得函数f（x）的单调递减区间是（-1，0），（1，+∞）．
f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（0，1）．
值域为{y|y≤1}．
（注意：将两个区间“并”起来，没分；-1，0，1处写为“闭”的形式，不扣分）
（3）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=-x（2+x），
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x（2+x），
∴函数f（x）的解析式为f（x）=

-x(2+x)，   x＜0 x(2-x)，     x≥0

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的对称性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用．