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对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”;若f(2x)≥af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“类P数对”.设函数f(x)的定义域为R+,且f(1)=3.
(1)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,求f(2n)(n∈N*);
(2)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时f(x)=k-|2x-3|,求f(x)在区间[1,2n)(n∈N*)上的最大值与最小值;
(3)若f(x)是增函数,且(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,试比较下列各组中两个式子的大小,并说明理由.
①f(2-n)与2-n+2(n∈N*);
②f(x)与2x+2(x∈(0,1]).
(1)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,即f(2x)=f(x)+1恒成立,整理f(2x)-f(x)=1,令x=2k,则f(2k+1)-f(2k)=1,
所以f(2),f(4),f(8),…f(2n)构成公差为1的等差数列,
令x=1得f(2)=f(1)+1=4,所以f(2n)=4+(n-1)×1=n+3
(2)当x∈[1,2)时f(x)=k-|2x-3|,令x=1,则f(1)=k-1=3,解得k=4,即当x∈[1,2)时f(x)=4-|2x-3|,所以f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4],
又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,即f(2x)=-2f(x)恒成立,当x∈[2k-1,2k)(k∈N*)时,
x
2k-1
∈[1,2)
f(x)=-2f(
x
2
)=4f(
x
4
)=…=(-2)k-1f(
x
2k-1
),
故当k为奇数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1]
当k为偶数时,f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1]
所以当n=1时,f(x)在区间[1,2n)上的最大值为4,最小值为3.
当n为不小于3的奇数时,f(x)在区间[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为-2n
n为不小于2的偶数时,f(x)在区间[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1
(3)(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,可知f(2x)≥2f(x)-2恒成立.即f(x)
1
2
f(2x)+1恒成立.
令x=
1
2k
,则得f(
1
2k
)≤
1
2
f(
1
2k-1
)+1

f(
1
2k
)
-2
1
2
[f(
1
2k-1
)-2]
对一切k∈N*恒成立.
所以f(
1
2n
)-2
1
2
[f(
1
2n-1
)-2]
1
4
[f(
1
2k-2
)-2]
≤…
1
2n
[f(1)-2]
=
1
2n
故f(2-n)≤2-n+2(n∈N*);
若x∈(0,1]),则必存在n∈N*,使得∈(
1
2n
1
2n-1
],由f(x)是增函数,故f(x)≤f(
1
2n-1
)≤
1
2n-1
+2
又2x+2>2×
1
2x
+2=
1
2x-1
+2,故有f(x)<2x+2
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:
①y=f(x)是周期函数②x=π是它的一条对称轴;③(-π,0)是它图象的一个对称中心;
④当x=
π
2
时,它一定取最大值;其中描述正确的是
 

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给出下列五个命题:
①函数y=f(x),x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点;
②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数;
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2,总存在x0,当x>x0 时,有2x>x2成立;
④对于函数y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)•f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点.
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,则x1+x2=5.
其中正确的序号是
③⑤
③⑤

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•和平区一模)函数y=f(x)是定义在[a,b]上的增函数,其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)无零点,设F(x)=f2(x)+f2(-x),则对于函数y=F(x)有如下四种说法:①定义域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函数;④在定义域内单调递增.其中正确的说法是(  )

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(2010•上海模拟)对于函数y=f(x)的图象上任意两点A(a,f(a)),B(b,f(b)),设点C分
AB
的比为λ(λ>0).若函数为f(x)=x2(x>0),则直线AB必在曲线AB的上方,且由图象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
.若函数为f(x)=log2010x,请分析该函数的图象特征,上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ

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已知定义在区间[-3,3]上的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0,对于函数y=f(x)的图象上任意两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]<0.若实数a,b满足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0,则点(a,b)所在区域的面积为(  )
A、8B、4C、2D、1

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