Question

【题目】已知从A地到B地共有两条路径L1和L2 ， 据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图（1）和图（2）．
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：用Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到B地”，

Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到B地”，i=1，2．

由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：

P（A1）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，

P（A2）=（0.01+0.04）×10=0.5．

∵P（A1）＞P（A2），故甲应选择L1．

P（B1）=（0.01+0.02+0.03+0.02）×10=0.8，

P（B2）=（0.01+0.04+0.04）×10=0.9．

∵P（B2）＞P（B1），故乙应选择L2．

（2）解：用M，N分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B地，

由（1）知P（M）=0.6，P（N）=0.9，又由题意知，M，N相互独立，

∴P（X=0）=P（ ）=P（ ）P（ ）=0.4×0.1=0.04；

P（X=1）=P（ N+M ）=P（ ）P（N）+P（M）P（ ）

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42；

P（X=2）=P（MN）=P（M）P（N）=0.6×0.9=0.54．

∴X的分布列为

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

∴E（X）=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．

【解析】（1）用Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到B地”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到B地”，i=1，2．由频率分布直方图及频率估计概率求出P（A1）＞P（A2），从而甲应选择L1，P（B2）＞P（B1），从而乙应选择L2．（2）用M，N分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B地，P（M）=0.6，P（N）=0.9，M，N相互独立，由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．