【题目】已知从A地到B地共有两条路径L1和L2 , 据统计,经过两条路径所用的时间互不影响,且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图(1)和图(2).
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地.
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地,甲和乙应如何选择各自的路径?
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数,针对(1)的选择方案,求X的分布列和数学期望.
【答案】
(1)解:用Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到B地”,
Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到B地”,i=1,2.
由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得:
P(A1)=(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,
P(A2)=(0.01+0.04)×10=0.5.
∵P(A1)>P(A2),故甲应选择L1.
P(B1)=(0.01+0.02+0.03+0.02)×10=0.8,
P(B2)=(0.01+0.04+0.04)×10=0.9.
∵P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.
(2)解:用M,N分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到B地,
由(1)知P(M)=0.6,P(N)=0.9,又由题意知,M,N相互独立,
∴P(X=0)=P( )=P(
)P(
)=0.4×0.1=0.04;
P(X=1)=P( N+M
)=P(
)P(N)+P(M)P(
)
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42;
P(X=2)=P(MN)=P(M)P(N)=0.6×0.9=0.54.
∴X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P | 0.04 | 0.42 | 0.54 |
∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.
【解析】(1)用Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到B地”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到B地”,i=1,2.由频率分布直方图及频率估计概率求出P(A1)>P(A2),从而甲应选择L1,P(B2)>P(B1),从而乙应选择L2.(2)用M,N分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到B地,P(M)=0.6,P(N)=0.9,M,N相互独立,由题意X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识点,需要掌握频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息;在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列才能正确解答此题.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,取相同的长度单位,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2 sinθ,直线l的参数方程为
(t为参数).
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程.
(Ⅱ)若P(3, ),直线l与曲线C相交于M,N两点,求|PM|+|PN|的值.
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【题目】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AC= DC.
(I)若∠DAC=30°,求角B的大小;
(Ⅱ)若BD=2DC,且AD=2 ,求DC的长.
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【题目】已知椭圆 的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1 , k2 , 且k1+k2=8,证明:直线AB过定点( ).
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【题目】已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)的图象关于x= 对称,则函数y=f(
﹣x)是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点 对称
C.奇函数且它的图象关于点 对称
D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)写出曲线C的极坐标方程;
(2)设点M的极坐标为( ),过点M的直线l与曲线C相交于A,B两点,若|MA|=2|MB|,求AB的弦长.
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【题目】已知函数f(x)=2sinx( ).
(1)求函数f(x)在( )上的值域;
(2)在△ABC中,f(C)=0,且sinB=sinAsinC,求tanA的值.
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【题目】考拉兹猜想又名3n+1猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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【题目】给出以下命题:
⑴“ ”是“曲线
表示椭圆”的充要条件
⑵命题“若 ,则
”的否命题为:“若
,则
”
⑶ 中,
.
是斜边
上的点,
.以
为起点任作一条射线
交
于
点,则
点落在线段
上的概率是
⑷设随机变量 服从正态分布
,若
,则
则正确命题有( )个
A.
B.
C.
D.
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