Question

9．已知，如图，AB是eO的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E
（1）求证：FA∥BE
（2）求证：$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）证明∠OAF=∠B，即可证明FA∥BE
（2）证明△APC∽△FAC，可得$\frac{AP}{FA}$=$\frac{PC}{AC}$，即$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AC}$，利用AB=AC，即可证明$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．

解答 证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，∴OA=OF
∴∠OAF=∠F，
∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B，
∴FA∥BE；
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC，
∴$\frac{AP}{FA}$=$\frac{PC}{AC}$，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AC}$，
∵AB=AC，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．

点评 本题考查两直线平行的证明，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．