Question

已知函数f（x）=

x-2

x+1

与g（x）=mx+1-m的图象相交于A、B两点，若动点P满足|

PA

+

PB

|=2，则P的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：联立直线方程和双曲线方程，求得A，B的坐标，写出向量

PA

，

PB

的坐标，求出两向量的坐标和，由向量的模等于2化简整理得到P的轨迹方程．

解答： 解：如图，
联立

y=mx+1-m y= x-2 x+1

，得mx²=m-3．
∴m＞3，x=±

m-3 m

．
当x=-

m-3 m

时，y=-

m(m-3)

+1-m，A（-

m-3 m

，-

m(m-3)

+1-m）．
当x=

m-3 m

时，y=

m(m-3)

+1-m，B（

m-3 m

，

m(m-3)

+1-m）．
设动点P（x，y），
则

PA

=(-

m-3 m

-x，-

m(m-3)

+1-m-y)，

PB

=(

m-3 m

-x，

m(m-3)

+1-m-y)．
则

PA

+

PB

=(-2x，2-2m-2y)，
由|

PA

+

PB

|=2，得

(-2x)2+(2-2m-2y)2

=2．
两边平方得：4x²+4（y+m-1）²=4，即x²+（y+m-1）²=1（m＞3）．
∴P的轨迹方程是x²+（y+m-1）²=1（m＞3）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的坐标运算，是中档题．