Question

已知关于x的函数f（x）=x²+2mx+m
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，求函数g（x）=

f(x)

x

在区间[1，2]上的最大值，并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=x²+2mx+m没有零点可得△=（2m）²-4m＜0；从而解得；
（2）化简g（x）=

f(x)

x

=x+

2

x

+4；从而利用对勾函数的性质求最大值即最大值点．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+2mx+m没有零点，
∴△=（2m）²-4m＜0；
故0＜m＜1；
（2）当m=2时，f（x）=x²+4x+2；
g（x）=

f(x)

x

=x+

2

x

+4；
由对勾函数的性质可得，
g（x）=x+

2

x

+4在[1，

2

]上单调递减，在[

2

，2]上单调递增；
且g（1）=1+2+4=7；g（2）=2+1+4=7；
故当x=1或x=2时，
函数g（x）=

f(x)

x

在区间[1，2]上取得最大值7．

点评：本题考查了二次函数的性质与对勾函数的性质应用，属于中档题．