Question

下列说法：
①存在θ角使sinθ+cosθ＞

3

2

；
②存在一圆与直线系xcosθ+ysinθ=1（x∈R）都相切；
③当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空；
④函数f（x）对任意的x∈R，满足f（x+2）=f（2-x）且f（1+x）+f（1-x）=0，则f（x）的一个周期为4．
其中正确的有（写出所有可能结论的序号）

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由两角和的正弦化积求出函数的最大值判断①；
②由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离判断②；
③由绝对值的几何意义判断③；
④由自变量的变化结合两个等式变形求得函数f（x）的周期判断④．

解答： 解：对于①，sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，∴sinθ+cosθ的最大值为

2

＜

3

2

，命题①错误；
对于②，∵O（0，0）到直线xcosθ+ysinθ=1的距离为

|-1|

cos2θ+sin2θ

=1，
∴存在一圆x²+y²=1与直线系xcosθ+ysinθ=1（x∈R）都相切，命题②正确；
对于③，∵|x-4|+|x-3|是数轴上动点x到定点3，4的距离和，∴|x-4|+|x-3|≥1，
则当a=1时，不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集是空集，命题③错误；
对于④，由f（1+x）+f（1-x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），f（2+x）=-f（-x），
又f（x+2）=f（2-x），∴f（2-x）=-f（-x），则f（2+x）=-f（x），
∴f（2+2+x）=-f（2+x）=-[-f（x）]=f（x），则f（x）的一个周期为4，命题④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了绝对值的几何意义，是中档题．