Question

17．设函数f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=$\frac{1}{3}$时，设函数g（x）=x²-2bx-$\frac{5}{12}$，若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过令a=1时，化简函数f（x）的表达式，通过求出f（1）、f′（1）的值即可；
（Ⅱ）通过求出f′（x）的表达式，并对a的值是否为0进行讨论即可；
（Ⅲ）通过（II）可知当$a=\frac{1}{3}$时函数f（x）在区间（1，2）上为增函数，则已知条件等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$f（1）=-\frac{2}{3}$，通过对g（x）的表达式进行配方，结合x∈[0，1]讨论g（x）的图象中对称轴与区间[0，1]的位置关系即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，
∴$f（1）=-2，{f^'}（x）=\frac{1}{x}-1$，
∴f′（1）=0，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x-（1-a）}}{x^2}=\frac{-（x-1）[ax-（1-a）]}{x^2}$，
且f（x）的定义域为（0，+∞），
下面对a的值进行讨论：
（1）当a=0时，$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
（2）当a≠0时，又分以下几种情况：
①当$\frac{1-a}{a}＞1，即0＜a＜\frac{1}{2}时$，
f（x）的增区间为$（1，\frac{1-a}{a}）$，减区间为（0，1），$（\frac{1-a}{a}，+∞）$；
②当$\frac{1-a}{a}=1，即a=\frac{1}{2}时$，f（x）在 （0，+∞）上单调递减；
③当$\frac{1-a}{a}＜1，即a＞\frac{1}{2}或a＜0时$，又有两种情况：
（a）当$a＞\frac{1}{2}$时，$f（x）的增区间为（\frac{1-a}{a}，1），减区间为（0，\frac{1-a}{a}），（1，+∞）$；
（b）当$a＜0时，f（x）的增区间为（0，\frac{1-a}{a}），（1，+∞）；减区间为（\frac{1-a}{a}，1）$；
（Ⅲ）当$a=\frac{1}{3}$时，由（Ⅱ）知函数f（x）在区间（1，2）上为增函数，
所以函数f（x）在[1，2]上的最小值为$f（1）=-\frac{2}{3}$，
则对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立等价于
g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$-\frac{2}{3}$                 （*）
又$g（x）={x^2}-2bx-\frac{5}{12}={（x-b）^2}-{b^2}-\frac{5}{12}，x∈[{0，1}]$，
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，
$g{（x）_{min}}=g（0）=-\frac{5}{12}＞-\frac{2}{3}$与（*）矛盾；
②当0≤b≤1时，$g{（x）_{min}}=g（b）=-{b^2}-\frac{5}{12}$，
由$-{b^2}-\frac{5}{12}≤-\frac{2}{3}$及0≤b≤1，
可得：$\frac{1}{2}≤b≤1$；
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，
$g{（x）_{min}}=g（1）=\frac{7}{12}-2b≤-\frac{2}{3}$，此时b＞1；
综上所述，b的取值范围是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查导数的应用，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．