Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}为首项为1，公差为1的等差数列
（1）求a₁及a_n，b_n．
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又∵S_n-S_n-1=a_n，n≥2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴=2（n≥2），即数列{a_n}是等比数列，
∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ．
∵数列{b_n}为首项为1，公差为1的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）=n．
（2）∵，b_n=n，
∴c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．
分析：（1）先利用a_n是S_n与2的等差中项把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，可得S_n-1=2a_n-1-2，两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出a_n；对于数列{b_n}，直接利用等差数列通项公式即可求出b_n．
（2）先把所求结论代入求出数列{c_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．
点评：本题考查数列通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，要熟练掌握数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．