Question

对有n（n≥4）个元素的总体{1，2，3，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率．
（1）求P_1n的表达式（用m，n表示）；
（2）求所有P_ij（1≤i＜j≤n）的和．

Answer 1

考点：概率的应用,排列及排列数公式,排列、组合的实际应用

专题：概率与统计,排列组合

分析：（1）由题意直接求P_1n的表达式（用m，n表示）；
（2）通过i，j是否在{1，2，…，m}中，在{m+1，m+2，…，n}中，求出P_ij（1≤i＜j≤n）的和，然后求所有P_ij（1≤i＜j≤n）的和．

解答： 解：（1）P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率．
1∈{1，2，3，…，m}，n∈{m+1，m+2，…，n}．
∴P1n=

m-1

C 2 m

•

n-m-1

C 2 n-m

=

4

m(n-m)

．
（2）当i，j都在{1，2，…，m}中时，Pij=

1

C 2 m

，
而从{1，2，…，m}中选两个数的不同方法数为

C

2 m

，则P_ij的和为1．
当i，j同时在{m+1，m+2，…，n}中时，同理可得P_ij的和为1．
当i在{1，2，…，m}中，j在{m+1，m+2，…，n}中时，Pij=

4

m(n-m)

，
而从{1，2，…，m}中选取一个数，从{m+1，m+2，…，n}中选一个数的不同方法数为m（n-m），
则P_ij的和为4．所以所有P_ij的和为1+1+4=6．

点评：本题考查概率的综合应用，排列与组合的应用，考查计算能力以及分类讨论思想的应用．