Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，对任意n∈N^*，都有b_n+1²=b_n•b_n+2．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，若对任意的n∈N^*，不等式λnT_n+2b_nS_n＞2（λn+3b_n）恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）利用已知条件求出数列的递推关系式，利用累积法求出数列{a_n}的通项公式，然后求解{b_n}的通项公式；
（2）通过T_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，利用错位相减法求出T_n，对任意的n∈N^*，转化不等式λnT_n+2b_nS_n＞2（λn+3b_n）恒成立，为n的二次不等式恒成立问题，方法一利用二次函数的最值，求实数λ的取值范围．方法二：推出n的不等式，利用基本不等式求解即可．

解答： 解：（1）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），两式相减得，na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

（n≥2），又因为a₁=1，a₂=2，从而

a2

a1

=2=

2

1

，
∴an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an

an-1

=1×

2

1

ו

3

2

×…×

n

n-1

=n（n≥2），
故数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N^*）．
在数列{b_n}中，由

b

2 n+1

=bn•bn+2，知数列{b_n}是等比数列，首项、公比均为

1

2

，
∴数列{b_n}的通项公式bn=(

1

2

)n．
（2）∴Tn=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n①
∴

1

2

Tn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1②
由①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-n•(

1

2

)n+1=1-

n+2

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

，
不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）即为λn(2-

n+2

2n

)+

n(n+1)

2n

＞2(λn+

3

2n

)，
即（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＞0（n∈N^*）恒成立．
方法一、设f（n）=（1-λ）n²+（1-2λ）n-6（n∈N^*），
当λ=1时，f（n）=-n-6＜0恒成立，则λ=1不满足条件；
当λ＞1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ＜1时，f（1）=-3λ-4＞0恒成立，则λ＜-

4

3

满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是(-∞，-

4

3

)．
方法二、即λ＜

n2+n-6

n2+2n

（n∈N^*）恒成立，
令f(n)=

n2+n-6

n2+2n

．则f(n)=1-

n+6

n2+2n

=1-

1

n2+2n n+6

=1-

1

(n+6)+ 24 n+6 -10

，
由n+6≥7，(n+6)+

24

n+6

-10单调递增且大于0，∴f（n）单调递增∴f(n)≥f(1)=-

4

3

∴实数λ的取值范围是(-∞，-

4

3

)．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，数列求和的方法错位相减法的应用，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，是难度比较大的中档题．