Question

【题目】已知函数恰有两个极值点，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：(Ⅰ)求出,， ,令， ,由此利用导数性质能求出实数a的取值范围.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得， ,两式相减,得, ,从而 ,令，,得,令,则 ,令,则,,由此利用分类讨论思想,结合导数性质能求出实数的取值范围.

试题解析：

（1）因为，

依题意得为方程的两不等正实数根，

∴， ，

令， ，

当时， ；

当时， ，

所以在上单调递增，在上单调递减， ，

当时， ，

所以

∴

解得，

故实数的取值范围是.

（2）由（1）得， ， ，两式相加得

，

故

两式相减可得，

故

所以等价于，

所以

所以，

即，

所以，

因为，令，所以

即，令，

则在上恒成立， ，

令，

①当时， 所以在上单调递减，

所以在上单调递增，

所以符合题意

②当时， 所以在上单调递增

故在上单调递减，

所以不符合题意；

③当时，

所以在上单调递增，

所以所以在上单调递减，

故不符合题意

综上所述，实数的取值范围是.