【题目】(1)如图(1)已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EHFG.求证:EHBD.
(2)如图(2):S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且,求证:MN平面SBC.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
(1)先证明EH平面BCD,再利用线面平行的性质即可得证;
(2)过N作NGAD,交AB于G,证明MG平面SBC、NG平面SBC后即可证明平面SBC平面MNG,即可得证.
(1)证明:如图(1),E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,
∵EHFG,EH平面BCD,FG平面BCD,
∴EH平面BCD,
∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴BD平面ABD,
∵EH平面ABD,∴EHBD.
(2)证明:如图(2),S是平行四边形ABCD平面外一点,
过N作NGAD,交AB于G,连接MG,可得,
由已知条件,得,∴MGSB.
∵MG平面SBC,SB平面SBC,∴MG平面SBC.
又ADBC,∴NGBC,
∵NG平面SBC,BC平面SBC
∴NG平面SBC,NG∩MG=G,
∴平面SBC平面MNG,
∵MN平面MNG,∴MN平面SBC.
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【题目】已知椭圆C:()的左右焦点分别为,,点为短轴的一个端点,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为k()的直线l与椭圆C相交于D,E两点,A为椭圆的右顶点,直线,分别交直线于点M,N,线段的中点为P,记直线的斜率为.试问是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】抛物线:的焦点为,抛物线过点.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程与其准线的方程;
(Ⅱ)过点作直线与抛物线交于,两点,过,分别作抛物线的切线,证明两条切线的交点在抛物线的准线上.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x∶y | 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
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【题目】点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力,决定对新顾客实行让利促销,规定:凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张,中奖率分别为和,每人限点一餐,且100%中奖.现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.
(Ⅰ) 求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率;
(Ⅱ) 这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用、表示,记,求随机变量的分布列和数学期望.
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