【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设曲线,点
,
为该曲线上不同的两点.求证:当
时,直线
的斜率大于-1.
【答案】(Ⅰ)当时,
的减区间是
,无增区间;当
时,
的减区间是
,增区间是
.(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)由,求导得
,
再分和
两种情况分类讨论求解.
(Ⅱ)由,得
,设
,要证直线
的斜率大于-1.,只需证
,只需证
.即证
在
上是增函数即可.
(Ⅰ)因为,
所以,
当时,
,所以
在
上是减函数,
当时,令
得
,
当时,
,
在
上是增函数,
当时,
,
在
上是减函数,
综上:当时,
的减区间是
.
当时,
的减区间是
,增区间是
.
(Ⅱ)因为,
所以,设
,
要证直线的斜率大于-1.,
只需证,
只需证,
只需证.
即证在
上是增函数,
要证在
上是增函数,
只需证当时,
在
上恒成立,
只需证当时,
在
上恒成立,
令
所以当时,
在
上恒成立
以上各步可逆
所以直线的斜率大于-1.
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【题目】如图,在四棱锥中:
底面ABCD,底面ABCD为梯形,
,
,且
,BC=1,M为棱PD上的点。
(Ⅰ)若,求证:
平面PAB;
(Ⅱ)求直线BD与平面PAD所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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【题目】从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作,若其中乙和丙只能从事前两项工作,其余三人均能从事这三项工作,则不同的选派方案共有( )
A.36种B.12种C.18种D.24种
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【题目】2021年起,新高考科目设置采用“”模式,普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题,某校抽取了部分男、女学生调查选科意向,制作出如右图等高条形图,现给出下列结论:
①样本中的女生更倾向于选历史;
②样本中的男生更倾向于选物理;
③样本中的男生和女生数量一样多;
④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量.
根据两幅条形图的信息,可以判断上述结论正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】从某地区随机抽测120名成年女子的血清总蛋白含量(单位:),由测量结果得如图频数分布表:
(1)①仔细观察表中数据,算出该样本平均数______;
②由表格可以认为,该地区成年女子的血清总蛋白含量Z服从正态分布.其中
近似为样本平均数
,
近似为样本标准差s.经计算,该样本标准差
.
医学上,Z过高或过低都为异常,Z的正常值范围通常取关于对称的区间
,且Z位于该区间的概率为
,试用该样本估计该地区血清总蛋白正常值范围.
120名成年女人的血清总蛋白含量的频数分布表 | |||
分组 | 频数f | 区间中点值x | |
2 | 65 | 130 | |
8 | 67 | 536 | |
12 | 69 | 828 | |
15 | 71 | 1065 | |
25 | 73 | 1825 | |
24 | 75 | 1800 | |
16 | 77 | 1232 | |
10 | 79 | 790 | |
7 | 81 | 567 | |
1 | 83 | 83 | |
合计 | 120 | 8856 |
(2)结合(1)中的正常值范围,若该地区有5名成年女子检测血清总蛋白含量,测得数据分别为83.2,80,73,59.5,77,从中随机抽取2名女子,设血清总蛋白含量不在正常值范围的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:若,则
.
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【题目】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,60件,30件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从乙车间的产品中抽取了2件。
(Ⅰ)应从甲、丙两个车间的产品中分别抽取多少件,样本容量n为多少?
(Ⅱ)设抽出的n件产品分别用,
,…,
表示,现从中随机抽取2件产品。
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2件产品来自不同车间”,求事件M发生的概率.
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【题目】(1)如图(1)已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EHFG.求证:EH
BD.
(2)如图(2):S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且,求证:MN
平面SBC.
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