Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin²

A+C

2

+cos2B=1
（1）若b=

13

，a=3，求c的值；
（2）设t=sinAsinC，当t取最大值时求A的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；
（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值．

解答：解：（1）∵2sin²

A+C

2

+cos2B=1，
∴2cos²B+cosB-1=0
∴cosB=

1

2

（cosB=-1舍去），∴B=

π

3

由余弦定理，可得13=9+c2-2×3c×

1

2

∴c²-3c-4=0
∴c=1或c=4
c=1时，c＜a＜b，C＜A＜B=

π

3

，与三角形内角和矛盾，舍去，∴c=4；
（2）t=sinAsinC=sinAsin（

2π

3

-A）=sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

3

4

sinA-

1

4

cos2A+

1

4

=

1

2

sin(2A-

π

6

)+

1

4

，
∵A∈(0，

2π

3

)，∴2A-

π

6

∈(-

π

6

，

7π

6

)
∴sin(2A-

π

6

)∈(-

1

2

，1]
∴当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，tmax=

3

4

．

点评：本题考查二倍角、辅助角公式，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．