Question

已知Q₂=

x2+y2 2

称为x，y的二维平方平均数，A₂=

x+y

2

称为x，y的二维算术平均数，G₂=

xy

称为x，y的二维几何平均数，H₂=

2

1 x + 1 y

称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数．
（Ⅰ）试判断G₂与H₂的大小，并证明你的猜想．
（Ⅱ）令M=A₂-G₂，N=G₂-H₂，试判断M与N的大小，并证明你的猜想．
（Ⅲ）令M=A₂-G₂，N=G₂-H₂，P=Q₂-A₂，试判断M、N、P三者之间的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,归纳推理

专题：分析法,不等式的解法及应用

分析：先猜想结论，再分析使结论成立的充分条件，一直分析到使猜想成立的充分条件显然具备，从而猜想得证．

解答： 解：（I）G₂≥H₂，采用分析法．
欲证G₂≥H₂，
即证

xy

≥

2xy

x+y

，
即证1≥

2 xy

x+y

，
即证x+y≥2

xy

，
上式显然成立，
所以G₂≥H₂；…3’
（II）M≥N．
欲证M≥N，
即证

x+y

2

+

2xy

x+y

≥2

xy

，
由均值不等式可得：

x+y

2

+

2xy

x+y

≥2

x+y 2 • 2xy x+y

=2

xy

，等号成立的条件是x=y，
所以原命题成立…6’
（III）M≥P≥N．
首先证明M≥P：
欲证M≥P，
即证x+y≥

xy

+

x2+y2 2

，
即证x2+y2+2xy≥xy+

x2+y2

2

+

2xy(x2+y2)

，
即证

(x+y)2

2

≥

2xy(x2+y2)

，
即证（x+y）⁴≥8xy（x²+y²），
即证（x-y）⁴≥0，
上式显然成立，等号成立的条件是x=y，故M≥P．
再证P≥N：
欲证P≥N，
即证

x2+y2 2

-

xy

≥

x+y

2

-

2xy

x+y

=

(x-y)2

2(x+y)

，
即证

1

2

•

(x-y)2

x2+y2 2 + xy

≥

(x-y)2

2(x+y)

，当x=y时，上式显然成立，
当x≠y时，即证x+y≥

xy

+

x2+y2 2

，
而此式子在证明M≥P已经成功证明，所以原命题成立…14’

点评：本题主要考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．